Question

圆锥的底面半径为5cm，高为10cm，当它的内接圆柱的底面半径r为何值时？此圆柱两底面积与侧面积之和S有最大值．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：根据纵截面列出函数式子，S=2π（10-2r）r+2πr²=2π（10r-r²），
根据r的范围判断最即可求解．

解答： 解：如图，△SAB是圆锥的轴截面，其中SO=10，OB=5，
设圆锥内接圆柱的底面半径O₁C=r，
∵△SOB∽△SO′C′，
∴

SO1

O1C

=

SO

OB

，
∴SO₁=

S0

OB

•O₁C=

10

5

r，=2r，
00₁=10-2r，
∴圆柱两底面积与侧面积之和S=2π（10-2r）r+2πr²=2π（10r-r²），
∵00₁=10-2r＞0，0＜r＜5，
∴不存在r的值，使圆柱两底面积与侧面积之和S有最大值．

点评：本题考查了空间几何体的性质，运算求解最大值问题，属于中档题．