Question

若a_n是（2+x）ⁿ（n∈N^*，n≥2，x∈R）展开式中x²项的系数，则

lim

n→∞

(

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

)=

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,极限及其运算

专题：二项式定理

分析：由题意可得x²项的系数为

C

2 n

•2n-2，即a_n=

C

2 n

•2n-2．再把要求的式子 

lim

n→∞

(

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

) 化为

lim

n→∞

4•(

1

1

+

1

C 2 3

+…+

1

C 2 n

)，即

lim

n→∞

8•(1-

1

n

)，从而得到结果．

解答： 解：∵a_n是（2+x）ⁿ（n∈N^*，n≥2，x∈R）展开式中x²项的系数，
又 （2+x）ⁿ的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r n

•2^n-r•x^r，令r=2，可得x²项的系数为

C

2 n

•2n-2．
∴a_n=

C

2 n

•2n-2．
∴

lim

n→∞

(

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

)=

lim

n→∞

(

22

1

+

23

C 2 n •2

+…+

2n

C 2 n •2n-2

)
=

lim

n→∞

(

22

1

+

22

C 2 3

+…+

22

C 2 n

)=

lim

n→∞

4•(

1

1

+

1

C 2 3

+…+

1

C 2 n

) 
=

lim

n→∞

4•(

1

1

+

2

2×3

+

2

3×4

…+

2

n(n-1)

)=

lim

n→∞

8•(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

) 
=

lim

n→∞

8•(1-

1

n

)=8，
故答案为：8．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，极限及其运算，属于中档题．