Question

下列命题：
①当?x＞1时，lgx+

1

lgx

≥2；
②m+1＞n是m＞n成立的充分不必要条件；
③对于任意△ABC的内角A、B、C满足：sin²A=sin²B+sin²C-2sinBsinCcosA；
④定义：如果对任意一个三角形，只要它的三边长a、b、c都在函数y=f（x）的定义域内，就有f（a）、f（b）、f（c）也是某个三角形的三边长，则称y=f（x）为“三角形型函数”．函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“三角形型函数”．
其中正确命题的序号为

 

．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①由基本不等式知，进而可得命题的正误；
②根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断出了命题p与命题q的关系；
③根据余弦定理得到a²关于b、c和cosA的式子，结合正弦定理得a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC，将其代入前面的式子，约去4R²即可得到所求证的等式成立；
④要利用“保三角形函数”的概念，证明函数h（x）=lnx （x∈[2，+∞））是保三角形函数，从而得到结论．

解答： 解：①当x＞1时，lgx＞0
则lgx+

1

lgx

≥2

lgx× 1 lgx

=2，故①正确；
②m+1＞n?m＞n-1，
则m+1＞n是m＞n成立的必要不充分条件，故②不正确；
③△ABC中，根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA…（*）
又∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R（R是外接圆半径）
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
代入（*）式，得4R²sin²A=4R²sin²B+4R²sin²C-2•2RsinB•2RsinCcosA
两边约去4R²，得sin²A=sin²B+sin²C-2sinBsinCcosA，原等式成立，故③正确；
④对任意一个三角形三边长a，b，c∈[2，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，
则h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．
因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a-1）（b-1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna+lnb＞lnc．
同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．
所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长．
故函数h（x）=lnx （x∈[2，+∞）），是保三角形函数，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了充要条件的判定，不等式的性质，以及解三角的有关问题，属于中档题．