Question

①?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数；
②函数f（x）=e^x+x²-2的零点有2个； 
③已知函数y=f（x）和函数y=log₂（x+1）的图象关于直线x-y=0 对称，则函数y=f（x）的解析式为y=2^x-1；
④?m∈R，使f(x)=(m-1)•xm2-4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上递减；
上述命题中是真命题的有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①取特殊值，如φ=

π

2

，利用三角函数的诱导公式就可以验正；
②构造我们熟悉的函数，将式子变行，构造我们熟悉的函数，如y1=ex，y2=-x2+2，两函数图象交点的个数，就是原函数的零点的个数；
③因为原函数与它的反函数的图象是关于直线y=x对称的，所以只要求出函数y=f（x）的反函数就行；
④由幂函数的定义知，未知数x前的系数为1，求得m的值，代到解析式中，即可．

解答： 解：①取φ=

π

2

，则函数f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos（2x），是偶函数，①错误；
②令f（x）=e^x+x²-2=0，则e^x=-x²+2，令y1=ex，y2=-x2+2，由y₁，y₂的图象有两个不同的交点，所以零点有2个，②正确； 
③在解析式y=log₂（x+1）中以x代替y，并以y代替x得，x=log₂（y+1）化简得到，y=2^x-1，
∴函数y=log₂（x+1）的图象关于直线x-y=0 对称的函数y=f（x）的解析式为y=2^x-1，③正确；
④∵f（x）是幂函数，∴m-1=1，得m=2，∴f（x）=x^-1，在（0，+∞）上递减，即?m=1，④正确．
故答案为：②③④．

点评：考查了函数的一些基本性质，如命题存在时，用到三角函数的诱导公式；函数的零点；原函数与它的反函数的图象关于直线y=x对称，反函数解析式的求法；幂函数定义与单调性．所以在平时学习题，应该撑基本初等函数的一些基本的性质，是做这类题目的关键．