Question

3．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（0≤α＜π，t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将原极坐标方程ρ=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$两边同时乘以ρ，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，再代入曲线C的标准方程：y²=4x得：x²-6x+1=0，利用直线l经过点（1，0），即可得到直线l被曲线C截得的线段AB的长．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$得ρsin²θ=4cosθ得，ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即曲线C的直角坐标方程为y²=4x，
故切线C是抛物线；              
（Ⅱ）由直线l经过点（1，0）和（0，1），所以其方程为x+y=1．
故直线l的直角坐标方程是x+y-1=0，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y，得x²-6x+1=0，
则x_A+x_B=6，
又点（1，0）是抛物线的焦点，
由抛物线定义，得弦长|AB|=x_A+x_B+2=6+2=8．

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．