Question

11．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+2y≥3}\\{2x+y≤3}\end{array}\right.$，若y-x的最大值是a，则二项式（ax-$\frac{1}{x}$）⁶的展开式中的常数项为-540，（用数字作答）

Answer 1

分析 首先利用约束条件得到可行域，结合y-x的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项．

解答 解：已知得到可行域如图：设z=y-x变形为y=x+z，当此直线经过图中B（0，3）时，
直线在y轴的截距最大，z最大，
所以z 的最大值为3，
所以a=3，二项式（3x-$\frac{1}{x}$）⁶的通项为${C}_{6}^{r}（3x）^{6-r}（-\frac{1}{x}）^{r}=（-1）^{r}{{3}^{6-r}C}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$，
所以r=3时，展开式中的常数项为$-{3}^{3}{C}_{6}^{3}$=-540；
故答案为：-540

点评 本题考查了简单线性规划问题与二项式定理的运用；关键是利用数形结合正确求出a，然后由二项展开式通项求常数项．