Question

18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（-$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$+x），当x∈[0，$\frac{3}{2}$]时，f（x）=ln（x²-x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 7
• D． 9

Answer 1

分析 根据f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（-$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$+x），可得函数的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得f（$-\frac{3}{2}$）=f（-1）=f（0）=f（1）=f（$\frac{3}{2}$）=0，利用周期性可得函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（-$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$+x），
∴f（$-\frac{3}{2}+x+\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}+x+\frac{3}{2}$），可得f（x+3）=f（x），
函数f（x）的周期为3，
∵当x∈[0，$\frac{3}{2}$]时，f（x）=ln（x²-x+1），
令f（x）=0，则x²-x+1=1，解得x=0或1，
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴在区间∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]上，有f（-1）=-f（1）=0，f（0）=0．
由f（-$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$+x），取x=0，得
f（-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），得f（$\frac{3}{2}$）=f（-$\frac{3}{2}$）=0，
∴f（-1）=f（1）=f（0）=f（$\frac{3}{2}$）=f（-$\frac{3}{2}$）=0．
又∵函数f（x）是周期为3的周期函数，
∴方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，$\frac{3}{2}$，2，3，4，$\frac{9}{2}$，5，6．
共9个，
故选：D．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．