Question

14．函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+ax（a∈R），g（x）=e^x+$\frac{3}{2}{x^2}$．
（1）讨论f（x）的极值点的个数；
（2）若对于?x＞0，总有f（x）≤g（x）．（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：对于?x＞0，不等式e^x+x²-（e+1）x+$\frac{e}{x}$＞2成立．

Answer 1

分析 （1）求f（x）的导数f′（x），根据x＞0求出f'（x）的值域，讨论a的值得出f′（x）的正负情况，判断f（x）的单调性和极值点问题；
（2）（i）f（x）≤g（x）等价于e^x-lnx+x²≥ax，由x＞0，利用分离常数法求出a的表达式，再构造函数求最值即可；
（ii）由（ i）结论，a=e+1时有f（x）≤g（x），得出不等式，再进行等价转化，证明转化的命题成立即可．

解答 解：（1）由题意得f'（x）=x+$\frac{1}{x}$+a=$\frac{{x}^{2}+ax+1}{x}$，
当a²-4≤0，即-2≤a≤2时，f'（x）≥0恒成立，无极值点；
当a²-4＞0，即a＜-2或a＞2时，
①a＜-2时，设方程x²+ax+1=0两个不同实根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₁，x₂，
则x₁+x₂=-a＞0，x₁x₂=1＞0，故0＜x₁＜x₂，
∴x₁，x₂是函数的两个极值点．
②a＞2时，设方程x²+ax+1=0两个不同实根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=-a＜0，x₁x₂=1＞0，故x₁＜0，x₂＜0，
故函数没有极值点．
综上，当a＜-2时，函数有两个极值点；
当a≥-2时，函数没有极值点．
（2）（i）f（x）≤g（x）等价于e^x-lnx+x²≥ax，
由x＞0，即a≤$\frac{{e}^{x}{+x}^{2}-lnx}{x}$对于?x＞0恒成立，
设φ（x）=$\frac{{e}^{x}{+x}^{2}-lnx}{x}$（x＞0），
φ′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+lnx+（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，
∴φ（x）≥φ（1）=e+1，
∴a≤e+1．
（ii）（ ii）由（ i）知，当a=e+1时有f（x）≤g（x），
即：e^x+$\frac{3}{2}$x²≥lnx+$\frac{1}{2}$x²+（e+1）x，
等价于e^x+x²-（e+1）x≥lnx…①当且仅当x=1时取等号，
以下证明：lnx+$\frac{e}{x}$≥2，
设θ（x）=lnx+$\frac{e}{x}$，则θ′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{x}^{2}}$=$\frac{x-e}{{x}^{2}}$，
∴当x∈（0，e）时θ'（x）＜0，θ（x）单调递减，
x∈（e，+∞）时θ'（x）＞0，θ（x）单调递增，
∴θ（x）≥θ（e）=2，
∴lnx+$\frac{e}{x}$≥2，②当且仅当x=e时取等号；
由于①②等号不同时成立，故有e^x+x²-（e+1）x+$\frac{e}{x}$＞2．

点评 本题考查了函数与导数的综合应用问题，也考查了求函数最值与不等式恒成立问题，是综合性问题．