Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（1-x），x＜0}\\{{x}^{2}-ax，x≥0}\end{array}\right.$，且g（x）=f（x）+$\frac{x}{2}$有三个零点，则实数a的取值范围为（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意画出图形，可知y=-$\frac{x}{2}$与y=ln（1-x）（x＜0）一定有一交点；然后分a≤0和a＞0分类分析，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与y=-$\frac{x}{2}$的图象有两个不同交点，不满足题意；当a＞0时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{x}{2}}\\{y={x}^{2}-ax}\end{array}\right.$，得2x²-（2a-1）x=0，可得方程2x²-（2a-1）x=0有一0根一正根，由此列式求得a的范围．

解答 解：函数g（x）=f（x）+$\frac{x}{2}$有三个零点，即方程f（x）+$\frac{x}{2}$=0有三个根，
也就是函数y=f（x）的图象与y=-$\frac{x}{2}$的图象有三个不同交点．
如图：

y=-$\frac{x}{2}$与y=ln（1-x）（x＜0）一定有一交点；
当a≤0时，y=x²-ax（x≥0）的图象是图中虚线部分，
∴函数y=f（x）的图象与y=-$\frac{x}{2}$的图象有两个不同交点，不满足题意；
当a＞0时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{x}{2}}\\{y={x}^{2}-ax}\end{array}\right.$，得2x²-（2a-1）x=0．
若函数y=f（x）的图象与y=-$\frac{x}{2}$的图象有三个不同交点，则方程2x²-（2a-1）x=0有一0根一正根，
则$\frac{2a-1}{2}＞0$，即a＞$\frac{1}{2}$．
∴实数a的取值范围为：（$\frac{1}{2}$，+∞）．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．