Question

已知在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x= 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴）中，曲线C₂的方程为ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C₂直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C₁、C₂交于A、B两点，定点P（0，-4），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即可将极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）联立方程组，利用韦达定理即可求得|PA|+|PB|的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲线C₂的方程为ρsin²θ=4cosθ，则ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即（ρsinθ）²=4ρcosθ，
∴y²=4x，
故曲线C₂直角坐标方程为y²=4x；
（Ⅱ）∵曲线C₁的参数方程为

x= 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），且曲线C₂直角坐标方程为y²=4x，
∴联立方程组，则有

1

2

t2-6

2

t+16=0，即t2-12

2

t+32=0，
∴t₁+t₂=12

2

，t₁t₂=32，则t₁＞0，t₂＞0，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=12

2

，
故|PA|+|PB|的值为12

2

．

点评：本题考查了简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即可将极坐标方程转化为直角坐标方程．直线与曲线的交点通过联立方程组求解即可得到，方程的根与系数的关系，即韦达定理的应用．属于中档题．