Question

解关于x的不等式ax+

1

x

≥a+1(a∈R)．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：将不等式进行“移项，通分”，转化为

(ax-1)(x-1)

x

≥0，根据各个因式对应根的大小进行分类讨论，分别求解不等式的解集即可得．

解答： 解：∵不等式ax+

1

x

≥a+1(a∈R)，
∴变形为

ax2-(a+1)x+1

x

≥0，
因式分解可得，

(ax-1)(x-1)

x

≥0，（*）
①当a=0时，（*）即为

x-1

x

≤0，解得0＜x≤1；
②当a≠0时，（*）即为

a(x- 1 a )(x-1)

x

≥0，
（i）当

1

a

＜0，即a＜0时，解得x≤

1

a

或0＜x≤1；
（ii）当

1

a

≥1，即0＜a≤1时，解得0＜x≤1或x≥

1

a

；
（iii）当

1

a

＜1，即a＞1时，解得0＜x≤

1

a

或x≥1．
综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|0＜x≤1}，
当a＜0时，原不等式的解集为{x|x≤

1

a

或0＜x≤1}，
当0＜a≤1时，原不等式的解集为{x|0＜x≤1或x≥

1

a

}，
当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x≤

1

a

或x≥1}

点评：本题考查了分式不等式的解法，高次不等式的解法．解题的关键是如何进行合理的分类讨论．对于分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题．高次不等式一般选用“穿根法”进行求解，“穿根法”要注意先确定各因式的根，在数轴上按照从小到大标出来，确定各因式的系数为正值，根据“奇穿偶不穿”的原则，即可得到不等式的解集．属于中档题．