Question

已知圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方，x轴被圆C截得的弦长BD为2

5

．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆E与圆C关于直线2x-4y+5=0对称，P（x，y）为圆E上的动点，求

(x-1)2+(y+2)2

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由题意可设方程为（x-a）²+（y+2a）²=9，由条件可得a=1，进而可得方程；
（2）设圆心E（m，n），由对称关系可得m=-2，n=4，半径为3，

(x-1)2+(y+2)2

表示圆E上的点与（1，-2）的距离，即可求出

(x-1)2+(y+2)2

的取值范围．．

解答： 解：（1）由题意设圆心坐标（a，-2a）---（1分），则圆方程为（x-a）²+（y+2a）²=9----（2分）
作CA⊥x轴于点A，在Rt△ABC中，CB=3，AB=

5

，∴CA=2，-------（4分）
所以|-2a|=2，解得a=±1-----------（5分）
又因为点C在x轴的下方，所以a=1，即C（1，-2）-----------（6分）
所以圆方程为：（x-1）²+（y+2）²=9------------（7分）
（2）设圆心E（m，n），由题意可知点E与点C是关于直线2x-4y+5=0对称，
所以有

2× 1+m 2 -4× n-2 2 +5=0 n+2 m-1 × 1 2 =-1

--------（9分）可解得m=-2，n=4------------（11分）
所以点E（-2，4）且圆E的半径为3--------（12分）
所以圆E的方程为（x+2）²+（y-4）²=9，

(x-1)2+(y+2)2

表示圆E上的点与（1，-2）的距离．
因为（1，-2）与点E（-2，4）的距离为

(1+2)2+(-2-4)2

=3

5

，
所以

(x-1)2+(y+2)2

的取值范围为[3

5

-3，3

5

+3]．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，以及对称问题，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．