Question

f（x）=

x

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，解不等式：f（x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：运用导数判断函数的单调性，不等式f（x-1）+f（x）＜0即为f（x-1）＜-f（x）=f（-x），则有

-1＜x-1＜1 -1＜-x＜1 x-1＜-x

分别解出它们，再求交集即可．

解答： 解：f（x）=

x

1+x2

的导数为f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

，
由于-1＜x＜1，则1-x²＞0，则有f′（x）＞0，
则f（x）在（-1，1）上递增，且为奇函数．
f（x-1）+f（x）＜0即为
f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
则有

-1＜x-1＜1 -1＜-x＜1 x-1＜-x

即有

0＜x＜2 -1＜x＜1 x＜ 1 2

，
解得，0＜x＜

1

2

．
则解集为（0，

1

2

）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题．