Question

如图，椭圆Γ：

x2

4

+

y2

3

=1，动直线l₁：x=x₁（-2＜x＜0），点A₁，A₂分别为
椭圆Γ的左、右顶点，l₁与椭圆Γ相交于A，B两点（点A在第二象限）．
（Ⅰ）求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动直线l₂：x=x₂（-2＜x＜2，x₁≠x₂）与椭圆Γ相交于C，D两点，△OAB与△OCD的面积相等．证明：|OA|²+|OD|²为定值．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出直线A₁A的方程、直线A₂B的方程，联立，结合点A（x₁，y₁）在椭圆Γ上，即可求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设C（x₂，y₂），由△OAB与△OCD的面积相等，得|x1||y1|=|x2||y2|⇒x12•y12=x22•y22，结合点A，C均在椭圆上，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：设A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁），又A₁（-2，0），A₂（2，0），
则直线A₁A的方程为：y=

y1

x1+2

(x+2)①
直线A₂B的方程为：y=

-y1

x1-2

(x-2)②
由①②得：y2=

-y12

x12-4

(x2-4)③
由点A（x₁，y₁）在椭圆Γ上，故可得

x12

4

+

y12

3

=1，
∴y12=3(1-

x12

4

)，代入③得：

x2

4

-

y2

3

=1(x＜-2，y＜0)

（Ⅱ）证明：设C（x₂，y₂），
由△OAB与△OCD的面积相等，得|x1||y1|=|x2||y2|⇒x12•y12=x22•y22，
因为点A，C均在椭圆上，
∴3x12(1-

x12

4

)=3x22(1-

x22

4

)
由x₁≠x₂，所以x12+x22=4．
∴y12+y22=3，
∴|OA|²+|OD|²=7为定值

点评：本题考查椭圆方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．