Question

已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域

x+y≥2 x≤1 y≤2

上一个动点．
（1）求

OA

•

OM

的取值范围；
（2）求目标函数z=2x+y的最小值；
（3）求目标函数z=

y-1

x+1

的取值范围；
（4）求目标函数z=

(x+1)2+(y-1)2

的最大值．

Answer 1

考点：简单线性规划,平面向量数量积的运算

专题：数形结合,不等式的解法及应用

分析：由约束条件作出可行域．
（1）求出数量积，转化为线性目标函数，化为直线方程的斜截式，数形结合得答案；
（2）化线性目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得答案；
（3）由目标函数z=

y-1

x+1

的几何意义，即可行域内的动点与定点A（-1，1）连线的斜率的范围得答案；
（4）由目标函数z=

(x+1)2+(y-1)2

的几何意义，即可行域内的动点到定点A（-1，1）的距离得答案．

解答： 解：由约束条件

x+y≥2 x≤1 y≤2

作出可行域如图，

（1）令

OA

•

OM

=-x+y=t，
则y=x+t，
∴当直线y=x+t过点B（1，1）时，t有最小值为0，当直线y=x+t过点D（0，2）时，t有最大值为2，
∴

OA

•

OM

的取值范围是[0，2]；
（2）由z=2x+y，得y=-2x+z，当直线y=-2x+z过D（0，2）时z有最小值为2×0+2=2；
（3）目标函数z=

y-1

x+1

的几何意义是可行域内的动点与定点A（-1，1）连线的斜率，
∵kAB=0，kAD=

2-1

0-(-1)

=1，
∴目标函数z=

y-1

x+1

的取值范围是[0，1]；
（4）目标函数z=

(x+1)2+(y-1)2

的几何意义是可行域内的动点到定点A（-1，1）的距离，
由图可知，目标函数z=

(x+1)2+(y-1)2

的最大值为|AC|=

22+12

=

5

．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，体现了数学转化思想方法，是中档题．