Question

已知函数f（x）=x²+bx+c过（0，-1）和（1，-2m）（m为常数）两点．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数f（x）在区间[0，2]上的最值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）运用代入法，得到方程，解出即可得到解析式；
（2）求出对称轴方程，讨论对称轴和区间的关系，分当m≤0时，当0＜m≤1时，当1＜m≤2时，当m≥2时，结合二次函数的单调性，即可得到最值．

解答： 解：（1）由于f（x）的图象经过（0，-1）和（1．-2m），
则c=-1，1+b+c=-2m，即b=-2m，
则f（x）=x²-2mx-1；
（2）由于f（x）的对称轴x=m，
①当m≤0时，f（x）在[0，2]单调递增，
则f（x）_max=f（2）=3-4m，f（x）_min=f（0）=-1；
②当0＜m≤1时，f（x）在[0，m]递减，[m，2]递增，
则f（x）_max=f（2）=3-4m，f（x）_min=f（m）=-1-m²；
③当1＜m≤2时，f（x）在[0，m]递减，[m，2]递增，
则f（x）_max=f（0）=-1，f（x）_min=f（m）=-1-m²；
④当m≥2时，f（x）在[0，2]递减，
则f（x）_max=f（0）=-1，f（x）_min=f（2）=3-4m．
综上，可得，当m≤0时，f（x）_max=3-4m，f（x）_min=-1；
当0＜m≤1时，f（x）_max=3-4m，f（x）_min=-1-m²；
当1＜m≤2时，f（x）_max=-1，f（x）_min=-1-m²；
当m≥2时，f（x）_max=-1，f（x）_min=3-4m．

点评：本题考查二次函数的解析式的求法，考查二次函数在闭区间上的值域的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题和易错题．