Question

已知函数f（x）满足f（1）=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2015）=（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  4

• C、-

  1

  4

• D、0

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：由已知条件推导出函数f（x）是周期为6的周期函数，由此能求出结果．

解答： 解：取x=1，y=0
代入4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），
得4f（1）f（0）=f（1）+f（1）=2f（1），
解得f（0）=

1

2

，
则当x=1，y=1时，4f（1）f（1）=f（2）+f（0），
解得f（2）=f（1）-f（0）=-

1

4

；
当x=2，y=1时，4f（2）f（1）=f（3）+f（1），
解得f（3）=f（2）-f（1）=-

1

2

；
当x=3，y=1时，4f（3）f（1）=f（4）+f（2），
解得f（4）=f（3）-f（2）=-

1

4

；
当x=4，y=1时，4f（4）f（1）=f（5）+f（1），
解得f（5）=f（4）-f（3）=

1

4

；
当x=5，y=1时，4f（5）f（1）=f（6）+f（4），
解得f（6）=f（5）-f（4）=

1

2

；
当x=6，y=1时，4f（6）f（1）=f（7）+f（5），
解得f（7）=f（6）-f（5）=

1

4

；
…
6个一循环2015÷6=370余5
f（2015）=f（5）=

1

4

．
故选：B．

点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题的关键是推导出函数f（x）是周期为6的周期函数．