Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，通项a_n与前n项和S_n之间满足a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），求a_n的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1（n≥2），从而

1

Sn-1

-

1

Sn

=-2，进而Sn=

1

2n-1

，由此能求出a_n的通项公式．

解答： 解：∵a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），
∴S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1（n≥2），
两边同时除以S_nS_n-1，得：

1

Sn-1

-

1

Sn

=-2，
又a₁=1，∴{

1

Sn

}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴

1

Sn

=1+（n-1）×2=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

，
a1=S1=

1

2-1

=1，
a_n=S_n-S_n-1=

1

2n-1

-

1

2(n-1)-1

=-

2

(2n-1)(2n-3)

，
n=1时，上式不成立，
∴a_n=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．