Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a

2 n

+2a_n（n∈N₊）．
（1）证明数列{log₂（a_n+1）}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{b_n}满足b_n=

an+1

an+1

，求证：b_n=

an+1-an

anan+1

，并求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把已知递推式两边同时加1，配方后代入log₂（a_n+1）得答案；
（2）由b_n=

an+1

an+1

得到b_n=

an2+an

anan+1

，裂项后即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 证明：（1）由a_n+1=an2+2a_n，得
an+1+1=an2+2an+1，即an+1+1=(an+1)2，
∴log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1），
又a₁=1，
∴数列{log₂（a_n+1）}是以log₂（1+1）=log₂2=1为首项，以2为公比的等比数列，
∴log₂（a_n+1）=2^n-1，即an+1=22n-1．
∴数列{a_n}的通项公式为an=22n-1-1；
（2）b_n=

an+1

an+1

=

an2+an

anan+1

，
∵a_n+1=an2+2a_n，
∴an+1-an=an2+an，
∴b_n=

an+1-an

anan+1

，
∵bn=

an+1-an

anan+1

=

1

an

-

1

an+1

．
∴Sn=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

=1-

1

22n-1

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，是中档题．