Question

已知函数f（x）=3x²-2x+b（b∈R），
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥0；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，恒有f（x）＜0，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当b=7，不等式f（x）-k（x+1）≥0，对于x∈[0，2]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）分△≤0，与△＞0两种情况写出不等式的解集；
（2）要使当x∈[-1，1]时，恒有f（x）＜0，则f_最大值＜0即可；利用二次函数求最值的方法求出最值即可；
（3））当b=7，不等式f（x）-k（x+1）≥0，化为f（x）≥k（x+1），进一步3x²-2x+7≥k（x+1），进一步化为k≤

3x2-2x+7

x+1

，
令g(x)=

3x2-2x+7

x+1

，要使原不等式对于x∈[0，2]恒成立，只需使k≤g（x）_最小值即可，再求导，用导数求最小值．

解答： 解：（1）△=4-12b，
当△≤0，即4-12b≤0，即b≥

1

3

时，f（x）≥0恒成立，不等式的解集为R；
当△＞0，即4-12b＞0，即b＜

1

3

时，由3x²-2x+b=0得x₁=

1+ 1-3b

3

、x₂=

1- 1-3b

3

∴不等式f（x）≥0的解集为{x|x≤

1- 1-3b

3

，或x≥

1+ 1-3b

3

}
（2）要使当x∈[-1，1]时，恒有f（x）＜0，则f_最大值＜0即可；
∵函数f（x）=3x²-2x+b（b∈R）的对称轴为x=

1

3

，
∴当x=-1时，函数f（x）取最大值，即f_最大值=f（-1）=5+b，
∴5+b＜0，∴b＜-5
（3）当b=7，不等式f（x）-k（x+1）≥0，化为f（x）≥k（x+1），进一步3x²-2x+7≥k（x+1）
∵x+1＞0，∴不等式等价于k≤

3x2-2x+7

x+1

，
令g(x)=

3x2-2x+7

x+1

，要使原不等式对于x∈[0，2]恒成立，只需使k≤g（x）_最小值即可，
g′(x)=

(6x-2)(x+1)-(3x2-2x+7)

(x+1)2

=

3(x+3)(x-1)

(x+1)2

，由g′（x）=0得x=1，
∴当x∈[0，1]时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，g（x）递增；
∴当x=1时，函数g（x）取最小值，∴g（x）_最小值=g（1）=

3-2+7

1+1

=4，
∴k≤4．

点评：本题综合考查函数与导数、函数与不等式的关系，合理转化是解题的关键，也就是把恒成立的问题转化为求函数的最值来处理．