Question

给出下列四个命题：
（1）“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
（2）对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；
（3）函数f（x）=log_a

3+x

3-x

（a＞0，a≠1）是偶函数；
（4）若

a

•

b

=

b

•

c

且

b

≠

0

，则

a

=

c

．
其中真命题的个数是为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：由题意，依次分析可得，①符合特称命题的否定形式，正确；②分析可得f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，由奇偶函数的性质可得x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0，易得②正确；③将（-x）代入f（x）中，分析可得，f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数，故错误；④根据题意，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），则4是该函数的一个周期，正确；进而可得答案．

解答： 解：对于（1），“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”，命题（1）正确；
对于（2），对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，
则f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；又由奇函数在定义域内单调性相同，偶函数单调性相反，
∴x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0，
∴f′（x）＞g′（x），命题（2）正确；
对于（3），由f(-x)=loga

3-x

3+x

=-loga

3+x

3-x

=-f（x），则f（x）是奇函数，命题（3）错误；
对于（4），当

a

≠

c

且都与

b

垂直时有

a

•

b

=

b

•

c

，命题（4）错误．
综合可得，有2个命题正确．
故选：B．

点评：本题考查命题真假的判断，涉及特称命题的否定、函数的周期性、单调性的判断等知识点，综合性很强，需要认真分析，是中档题．