Question

已知函数f（x）=

ln(1+x)

x

．
（Ⅰ）证明：若x≥1，则 f（x）≤ln2；
（Ⅱ）如果对于任意x＞0，f（x）＞1+px恒成立，求p的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数求出f（x）的单调区间，求出f（x）的最大值，即可证出；
（2）构造函数h（x）=ln（1+x）-x-px²，则只要h（x）＞0恒成立．即h（x）的最小值大于0，求出p的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f(x)=

ln(1+x)

x

的导函数为f/(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
在[0，+∞）上考虑函数g(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，由g/(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

≤0，
可知g（x）单调递减，结合g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜0，所以，f′（x）＜0，f(x)=

ln(1+x)

x

在（0，+∞）单调递减．
∵f（1）=ln2，∴若x≥1，则 f（x）≤ln2．
（Ⅱ） 要使得对任意x＞0，f（x）＞1+px即

ln(1+x)

x

＞1+px恒成立，首先由熟知的不等式ln（1+x）＜x知p＜0
令h（x）=ln（1+x）-x-px²，则只要h（x）＞0恒成立．
以下在[0，+∞）上考虑h（x）.h/(x)=

1

1+x

-1-2px=

-2px(x+ 2p+1 2p )

1+x

．
这里p＜0，故若2p+1＞0，则在区间(0，-

2p+1

2p

)内，h′（x）＜0，h（x）单调递减，但h（0）=0，所以在区间(0，-

2p+1

2p

)内，h（x）＜0，这与题意不符；
反之，若2p+1≤0，则当x＞0时恒有h′（x）＞0，h（x）单调递增，但h（0）=0，所以对任意x＞0，h（x）＞0，也就是

ln(1+x)

x

＞1+px恒成立．
综上所述，使得对任意x＞0，f（x）＞1+px恒成立的最大的p=-

1

2

．

点评：本题利用导数求函数的单调区间，进而求出最大值，来证明不等式，运用了等价转化，化归，构造函数思想，求参数的取值范围，一道导数的综合题．属于中档题．