Question

设x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则ab的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由题意作出其平面区域，将z=ax+by化为y=-

a

b

x+

z

b

，

z

b

相当于直线y=-

a

b

x+

z

b

的纵截距，由几何意义可得过点A时取的最大值，从而利用基本不等式求其取值范围．

解答： 解：由题意作出其平面区域，

将z=ax+by化为y=-

a

b

x+

z

b

，

z

b

相当于直线y=-

a

b

x+

z

b

的纵截距，
则过点A时取的最大值，
由y=x+2与y=3x-6联立解得，x=4，y=6；
则4a+6b=12，
即2a+3b=6≥2

6ab

，
（当且仅当2a=3b时，等号成立）
由2

6ab

≤6，a＞0，b＞0解得，
0＜ab≤

3

2

．
故答案为：0＜ab≤

3

2

．

点评：本题考查了简单线性规划及基本不等式，作图要细致认真，属于中档题．