Question

若双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点P（

3a

2

，y）到C的右焦点F₂的距离小于它到C的左准线l的距离，则C的离心率e的取值范围是（　　）

• A、（

  2

  ，+∞）
• B、（1，

  2

  ）
• C、（2，+∞）
• D、（1，2）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的左右准线，判断P在右支上，运用双曲线的第二定义，得到|PF₂|=ed=e（

3a

2

-

a2

c

），再由条件得到不等式，结合离心率公式，解不等式即可得到e的范围．

解答： 解：双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右准线方程为x=±

a2

c

，
由于P的横坐标大于0，则P在右支上，
由双曲线的定义可得e=

|PF2|

d

（d为P到右准线的距离），
即有|PF₂|=ed=e（

3a

2

-

a2

c

），
P到左准线的距离为

3a

2

+

a2

c

，
由条件得，e（

3a

2

-

a2

c

）＜

3a

2

+

a2

c

，
由e=

c

a

，则有e（

3

2

-

1

e

）＜

3

2

+

1

e

，
化简得，3e²-5e-2＜0，
解得-

1

3

＜e＜2，
但e＞1，则有1＜e＜2．
故选D．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．