Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，若二面角P-CD-A为60°，且AD=2，AB=4．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求直线PA与平面PED所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取PC中点M，连接FM，EM，根据线面平行的判定定理只需证明AF∥EM；
（Ⅱ）首先证明∠PDA就是二面角P-CD-A的平面角，在根据解三角形，求得PD=PE，取DE的中点G，连接AG，PG，得到∠PGA就是直线PA与平面PED所成角，再解三角形即可

解答： 解：（Ⅰ）取PC中点M，连接FM，EM，
∵F、M分别为PD、PC的中点，∴FM∥DC，FM=

1

2

DC，
又E为AB的中点，∴AE∥DC，AE=DC，
∴AE∥FM，AE=

1

2

FM，∴四边形AFME为平行四边形，
∴AF∥ME，又AF?平面PEC，ME?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD
∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵底面ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD⊥AD，AD⊥CD
∴CD⊥PD，
∴∠PDA就是二面角P-CD-A的平面角，
即∠PDA=60°，
∵AD=2，
∴PA=2

3

，PD=4，
又∵AE=

1

2

AB=2，
∴PE=

PA2+AE2

=4，
∴PD=PE，
取DE的中点G，连接AG，PG，
∴PG⊥DE，AG⊥DE，
∴∠PGA就是直线PA与平面PED所成角，
在Rt△ADE中，AG=

2

2

AD=

2

，
在Rt△PAG中，PG=

PA2+AG2

=

14

，
∴sin∠PGA=

PA

PG

=

2 3

14

=

42

7

点评：本题考查线面平行、面面平行的判定及面面角，线面角的求解，考查学生的推理论证能力，解题关键是熟练掌握相关的定义、定理，属于中档题