Question

已知圆C：（x-3）²+（y-3）²=9及圆外一点P（5，-1）．
（1）点A是圆C上任意一点，求PA的中点Q的轨迹方程；
（2）过P作直线l，若圆C上恰有三点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）确定A，Q坐标之间的关系，利用代入法，可得PA的中点Q的轨迹方程；
（2）圆C上恰有三点到直线l的距离等于1，则圆心C到直线的距离为2，分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：（1）设Q（x，y），A（a，b），则a=2x-5，b=2y+1，
∵点A是圆C上任意一点，
∴（2x-5-3）²+（2y+1-3）²=9，即（2x-8）²+（2y-1）²=9；
（2）斜率存在时，设直线方程为y+1=k（x-5），即kx-y-5k-1=0，
∵圆C上恰有三点到直线l的距离等于1，
∴圆心C到直线的距离为2，
∴2=

|-2k-4|

k2+1

，
∴k=-

3

4

，
∴直线l的方程为3x+4y-11=0．
斜率不存在时，直线方程为x=5也满足题意．
综上，直线l的方程为3x+4y-11=0或x=5．

点评：代入法是求轨迹方程常用的方法，关键是确定坐标之间的关系．