Question

如图：A（-

3

m，m），B（

3

n，n）两点分别在射线0S，OT上移动，且

OA

•

OB

=-

1

2

，O为坐标原点，动点P满足

OP

=

OA

+

OB

．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q（x₀，

1

2

），过Q作（Ⅰ）中曲线C的两条切线，切点分别为M，N，
①求证：直线MN过定点；
②若

OM

•

ON

=-7，求x₀的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出mn=

1

4

，设P坐标为（x，y），（y＞0），由

OP

=

OA

+

OB

，能求出轨迹C的方程．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，y=

1+ x2 3

，即y′=

x

3 1+ x2 3

，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已知条件能求出lMN ：x0x-

3

2

y+3=0，由此能证明直线MN过定点（0，2）．
②设直线MN的方程为y=kx+2，直线MN的方程代入曲线C的方程得：（3k²-1）x²+12kx+9=0，由此利用根的判别式能求x₀的值．

解答： 解（Ⅰ）由已知得，

OA

•

OB

=-3mn+mn=-

1

2

，即mn=

1

4

，
设P坐标为（x，y），（y＞0），由

OP

=

OA

+

OB

，
得：（x，y）=（-

3

m，m）+（

3

n，n）=（

3

(n-m)，

m+n

）
∴

x= 3 (n-m) y=m+n

，消去m，n得，y2-

x2

3

=1，（y＞0），
∴轨迹C的方程为：y2-

x2

3

=1，y＞0．…（4分）
（Ⅱ）①证明：由（Ⅰ）知，y=

1+ x2 3

，即y′=

x

3 1+ x2 3

，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则kQM=

x1

3 1+ x12 3

=

x2

3y2

，
∴l_QM：y=

x1

3y1

(x-x1)+y1，即l_QM：x₁x-3y₁y+3=0，
∵Q在直线QM上，∴x0x1-

3

2

y1+3=0…（1）
同理得x0x2-

3

2

y2+3=0…（2）
由（1）（2）可知，lMN ：x0x-

3

2

y+3=0，
∴直线MN过定点（0，2）．…（9分）
②解：由①可知，设直线MN的方程为y=kx+2，
由题意知

2x0

3

且|k|＜

3

3

，
将直线MN的方程代入曲线C的方程得：（3k²-1）x²+12kx+9=0，
∴x1+x2=-

12k

3k2-1

x₁x₂=

9

3k2-1

，
又

OM

•

ON

=x₁x₂+y1 y2
=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₁+2）
=（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

5-3k2

3k2-1

=7，解得k=±

1

3

，
∴xo=±

1

2

．…（13分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的料数值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．