Question

如图，已知椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的右焦点为F₂，点P是椭圆上任意一点，圆M是以PF₂为直径的圆．
（Ⅰ）若圆M过原点O，求圆M的方程；
（Ⅱ）写出一个定圆的方程，使得无论点P在椭圆的什么位置，该定圆总与圆M相切，请写出你的探究过程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出P是椭圆的短轴顶点，从而求出点M的坐标为（

3

2

，2）或（

3

2

，-2），进而能求出圆M的半径，由此能求出圆M的方程．
（Ⅱ）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆M相内切，定圆的方程为x²+y²=25．利用圆的简单性质和两点间距离公式进行探究．

解答： 解：（Ⅰ）因为圆M过原点O，所以OP⊥OF₂，
所以P是椭圆的短轴顶点，P的坐标是（0，4）或（0，-4），
于是点M的坐标为（

3

2

，2）或（

3

2

，-2），
∴圆半径r=|MP|=

9 4 +4

=

5

2

，
∴圆M的方程为(x-

3

2

)2+(y-2)2=

25

4

或(x-

3

2

)2+(y+2)2=

25

4

．…（6分）
（Ⅱ）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆M相内切，
定圆的方程为x²+y²=25．…（8分）
探究过程为：设圆M的半径为r，定圆的半径为R，
因为|MO|=

1

2

|PF₁|=

1

2

（10-|PF₂|）
=5-

1

2

|PF₂|=5-r，
所以当原点为定圆圆心，半径R=5时，
定圆始终与圆M相内切．…（13分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查定圆始终与圆M相切的判断与探究，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．