Question

6．函数f（x）=|x-1|+|x-3|+e^x（x≥0）的最小值是6-2ln2．

Answer 1

分析 通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出得到区间上的x的最小值，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：x∈[0，1）时，f（x）=1-x+3-x+e^x=4-2x+e^x，
f′（x）=e^x-2，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，
令f′（x）＜0，解得：x＜ln2，
故f（x）在[0，ln2）递减，在（ln2，1）递增，
故f（x）_min=f（ln2）=4-2ln2+e^ln2=6-2ln2，
x∈[1，3）时，f（x）=x-1+3-x+e^x=2+e^x≥2+e，
x∈[3，+∞）时，f（x）=x-1+x-3+e^x=2x-4+e^x≥2+e³，
综上，f（x）的最小值是6-2ln2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．