一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球.分别标有不同的数字2.3.4.x.现从袋中随机摸出2个球.并计算摸出的这2个球上的数字之和.记录后将小球放回袋中搅匀.进行重复试验．记A事件为“数字之和为7 ．试验数据如下表:摸球总次数1020306090120180240330450“和为7 出现的频数19142426375882109150“� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2，3，4，x，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．记A事件为“数字之和为7”．试验数据如下表：

摸球总次数	10	20	30	60	90	120	180	240	330	450
“和为7”出现的频数	1	9	14	24	26	37	58	82	109	150
“和为7”出现的频率	0.10	0.45	0.47	0.40	0.29	0.31	0.32	0.34	0.33	0.33

（参考数据：0.33$≈\frac{1}{3}$）
（Ⅰ）如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近．试估计“出现数字之和为7”的概率，并求x的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设定一种游戏规则：每次摸2球，若数字和为7，则可获得奖金7元，否则需交5元．某人摸球3次，设其获利金额为随机变量η元，求η的数学期望和方差．

分析（Ⅰ）由数据表，利用频率估计概率，列方程求出x的值；
（Ⅱ）根据题意，ξ～（3，$\frac{1}{3}$），计算Eξ、Dξ，和Eη、Dη的值．

解答解：（Ⅰ）由数据表可知，当试验次数增加时，频率稳定在0.33附近，
所以可以估计“出现数字之和为7”的概率为$\frac{1}{3}$；      （2分）
∵P（A）=$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{{C}_{4}^{2}}$，∴A事件包含两种结果，
则有3+4=2+x=7，解得x=5；    （5分）
（Ⅱ）设ξ表示3次摸球中A事件发生的次数，
则ξ～（3，$\frac{1}{3}$），Eξ=3×$\frac{1}{3}$=1，
Dξ=3×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$；                     （8分）
则η=7ξ-5（3-ξ）=12ξ-15，
Eη=E（12ξ-15）=12Eξ-15=12-15=-3，（10分）
Dη=D（12ξ-15）=144Dξ=144×$\frac{2}{3}$=96；          （12分）
（注：（2）问也可以利用分布列去计算数学期望和方差）

点评本题考查了离散型随机变量的应用问题，是中档题．