题目内容
若实数x1、y1、x2、y2满足（x12+3y12-12）2+（x2-y2+8）2=0，则（x1-x2）2+（y1-y2）2的最小值为 ．
考点：两点间距离公式的应用
专题：函数的性质及应用
分析：化简已知条件，得到两个函数，利用函数的导数求出切线的斜率，利用平行线之间的距离求解即可．
解答：
解：实数x1，y1，x2，y2满足（x12+3y12-12）2+（x2-y2+8）2=0，
可得x12+3y12-12=0，并且x2-y2+8=0，（x1-x2）2+（y1-y2）2的最小值转化为：函数x12+3y12-12=0图象上的点与x2-y2+8=0图象上的点的距离的最小值，
与直线x2-y2+8=0平行的直线的斜率为1，设与x12+3y12-12=0切点坐标（a，b），则切线方程为：y=x+a-b，
联立方程可得：3（x-a+b）2=12-x2
整理可得：4x2+x（6b-6a）+2a2+3b2-6ab-12=0
故有：△=（6b-6a）2-16×（3a2+3b2-6ab-12）=0
可解得：a-b=-4（a-b=4舍去）
所以与x2-y2+8=0平行的直线为：y=x-4，即x-y-4=0
（x1-x2）2+（y1-y2）2的最小值为：
=2
．
故答案为：2
．
可得x12+3y12-12=0，并且x2-y2+8=0，（x1-x2）2+（y1-y2）2的最小值转化为：函数x12+3y12-12=0图象上的点与x2-y2+8=0图象上的点的距离的最小值，
与直线x2-y2+8=0平行的直线的斜率为1，设与x12+3y12-12=0切点坐标（a，b），则切线方程为：y=x+a-b，
联立方程可得：3（x-a+b）2=12-x2
整理可得：4x2+x（6b-6a）+2a2+3b2-6ab-12=0
故有：△=（6b-6a）2-16×（3a2+3b2-6ab-12）=0
可解得：a-b=-4（a-b=4舍去）
所以与x2-y2+8=0平行的直线为：y=x-4，即x-y-4=0
（x1-x2）2+（y1-y2）2的最小值为：
| |-8+4| | ||
|
| 2 |
故答案为：2
| 2 |
点评：本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数求解函数的最值，考查计算能力以及转化思想．
练习册系列答案
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已知m，n为异面直线，m?平面α，n?平面β，α∩β=l，则直线l（ ）
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| D、至多与m，n中的一条相交 |
若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是（0，4），则实数k的值为（ ）
A、
| ||
B、-
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C、
| ||
D、-
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