Question

已知函数f（x）=log₄（x²-2x-3）求：
（1）f（x）的定义域；
（2）f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得x²-2x-3＞0，解不等式可求函数f（x）的定义域
（2）要求函数的单调性及单调区间，根据复合函数单调性，只要求解t=22x+3-x²在定义域内的单调区间即可．

解答： 解：（1）∵x²-2x-3＞0．
∴x＜-1或x＞3．
∴函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞）．
（2）令t=x²-2x-3，则函数t在（1，+∞）上单调递增，在（-∞，1）上单调递减．
∵y=log₄t在（0，+∞）单调递增．
∴函数f（x）在（3，+∞）上单调递增，在（-∞，-1）上单调递减．
函数的单调增区间（3，+∞），单调减区间是（-∞，-1）．

点评：本题主要考查了对数函数与二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调性及函数的值域的求解，求解单调区间时不要漏掉对函数定义域的考虑．