Question

求点A（a，0）到椭圆

x2

2

+y²=1上的点之间的最短距离．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,坐标系和参数方程

分析：运用参数方程设出椭圆上点P的坐标，由两点的距离公式，配方化简整理，令t=cosθ，（-1≤t≤1），则有关于t的函数，讨论对称轴和区间[-1，1]的关系，运用单调性，即可得到最小值．

解答： 解：设椭圆

x2

2

+y²=1上的点P（

2

cosθ，sinθ）（θ为参数），
则|PA|=

( 2 cosθ-a)2+sin2θ

=

cos2θ-2 2 acosθ+a2+1

令t=cosθ，（-1≤t≤1），
则|PA|=

t2-2 2 at+a2+1

=

(t- 2 a)2+1-a2

，
当

2

a≤-1，即有a≤-

2

2

时，[-1，1]为减区间，则t=-1取最小，且为

2+2 2 a+a2

=|a+

2

|；
当-1＜

2

a＜1，即-

2

2

＜a＜

2

2

时，1-a²＞0，则t=

2

a，取得最小值，且为

1-a2

；
当

2

a≥-1，即有a≥-

2

2

时，[-1，1]为增区间，则t=1取最小，且为

2-2 2 a+a2

=|a-

2

|．
综上，当a≤-

2

2

时，|PA|最小为|a+

2

|；-

2

2

＜a＜

2

2

时，|PA|最小为

1-a2

；
a≥-

2

2

时，|PA|最小为|a-

2

|．

点评：本题考查椭圆的参数方程和运用，考查三角函数的值域及二次函数在闭区间上的最值问题，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题．