Question

已知函数f（x）=

(2 3 sin2x-sin2x)•cosx

sinx

+1．
（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上的最大值及取得最大值时x的集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），即可得定义域，化简解析式为f（x）=2sin（2x-

π

6

），从而可求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由x∈[

π

4

，

π

2

]，即可解得2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，从而可求f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上的最大值及取得最大值时x的集合．

解答： 解：（Ⅰ）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），
故f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ（k∈Z}，
因为f（x）=

(2 3 sin2x-sin2x)•cosx

sinx

+1
=（2

3

sinx-2cosx）•cosx+1
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）
所以f（x）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x-

π

6

），
由x∈[

π

4

，

π

2

]，得2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]
所以当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）取得最大值2．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．