Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁B₁=A₁C₁，点D、F分别是棱BC、CC₁上的中点，点E是CC₁上的动点
（Ⅰ）证明：A₁F∥平面ADE；
（Ⅱ）证明：A₁F⊥DE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱的结构特征,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）首先根据已知条件建立线线平行的条件，进一步利用线面平行的判定定理得到结论．
（Ⅱ）首先证明线面垂直，进一步转化成线线垂直．

解答： （Ⅰ） 证明：连结DF，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BD，AC点D、F分别是棱BC、CC₁上的中点，
∴BD平行且等于B₁F，
∴四边形BDFB₁是平行四边形，
∴BB₁平行且等于DF，
∴BB1平行且等于A

A

1

，
∴四边形AA₁FD是平行四边形，
∴A₁F∥AD，
又

∵A1F

?平面ADE，AD?平面ADE，
∴A₁F∥平面ADE．                                            
（Ⅱ）证明：由BB₁⊥平面A₁B₁C₁，又A₁F?平面A₁B₁C₁，
所以BB₁⊥A₁F，
在三角形A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，且F为B₁C₁的中点，
所以B₁C₁⊥A₁F，
又BB₁∩B₁C₁=B₁，
所以A₁F⊥平面BCC₁B₁．
又点D、E分别是棱BC、CC₁上的点，
所以DE?平面BCC₁B₁，所以A₁F⊥DE．

点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，线面垂直与线线垂直之间的转化，属于基础题型．