Question

S_n为数列b_n的前n项和，且满足b₁=1，

2bn

bnSn -S 2 n

=1（n≥2）．证明数列{

1

Sn

}成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列递推式得到

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

(n≥2)，由此证得数列{

1

Sn

}成等差数列，求其通项公式后可得S_n，再由
b_n=S_n-S_n-1（n≥2）求数列{b_n}的通项公式．

解答： 证明：由

2bn

bnSn -S 2 n

=1（n≥2），得2bn=bnSn-Sn2(n≥2)，
∴2(Sn-Sn-1)=(Sn-Sn-1)Sn-Sn2（n≥2），
即2S_n-1-2S_n=S_n•S_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

(n≥2)．
∴数列{

1

Sn

}成以

1

2

为公差的等差数列，
则

1

Sn

=

1

b1

+

1

2

(n-1)=1+

n

2

-

1

2

=

n+1

2

．
∴Sn=

2

n+1

．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n(n+1)

．
当n=1时上式不成立．
∴bn=

1，n=1 - 2 n(n+1) ，n≥2

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的性质，是中档题．