Question

已知x∈[-

π

3

，

2π

3

]．
（1）求函数y=cosx的值域；
（2）求函数y=-3sin²x-4cosx+4的最大值和最小值．

Answer 1

考点：余弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由x的范围结合余弦函数的性质可得；（2）化简可得y=-3（1-cos²x）-4cosx+4，换元，令cosx=t，由二次函数区间的最值可得．

解答： 解：（1）∵x∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴当x=

2π

3

时，函数y=cosx取最小值cos

2π

3

=-

1

2

，
当x=0时，函数y=cosx取最大值cos0=1，
∴函数y=cosx的值域为[-

1

2

，1]；
（2）化简可得y=-3sin²x-4cosx+4
=-3（1-cos²x）-4cosx+4 
令cosx=t，由（1）知t∈[-

1

2

，1]；
代入可得y=3t²-4t+1
由二次函数的性质可知，当t=

2

3

时，y取最小值-

1

3

，
当t=-

1

2

时，y取最大值

15

4

．

点评：本题考查余弦函数的值域，以及二次函数区间的最值，属基础题．