Question

已知函数f（x）=（1+x）^t-1的定义域为（-1，+∞），其中实数t满足t≠0且t≠1．直线l：y=g（x）是f（x）的图象在x=0处的切线．
（1）求l的方程：y=g（x）；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，试确定t的取值范围；
（3）若0＜a₁≤a₂≤a₃＜1，求证：a₁^a₁+a₂^a₂+a₃^a₃≥a₁^a₂+a₂^a₃+a₃^a₁．

Answer 1

考点：不等式的证明,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）根据函数的解析式求出导函数的解析式，求出切点坐标及切线的斜率（切点的导函数值），可得直线l的方程．
（2）构造函数h（x）=f（x）-g（x），若f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）≥0在（-1，+∞）上恒成立，即h（x）在（-1，+∞）上的最小值不小于0，分类讨论后，可得满足条件的t的取值范围；
（3）证明a₁^a₁+a₂^a₂≥a₁^a₂+a₂^a₁即可．分a₁=a₂和a₁≠a₂两种情况证明结论，并构造函数φ（x）=x^a₁-x^a₂，x∈[a₁，a₂]，证得φ（x）是单调减函数，进而得到结论．

解答： （1）解：∵f（x）=（1+x）^t-1
∴f'（x）=t（1+x）^x-1，
∴f'（0）=t，
又f（0）=0，
∴l的方程为：y=tx；…2'
（2）解：令h（x）=f（x）-g（x）=（1+x）^t-tx-1h'（x）=t（1+x）^t-1-t=t[（1+x）^t-1-1]
当t＜0时，（1+x）^t-1-1单调递减，
当x=0时，h'（x）=0
当x∈（-1，0），h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增．
∴x=0是h（x）的唯一极小值点，
∴h（x）≥h（0）=0，f（x）≥g（x）恒成立；…4'
当0＜t＜1时，（1+x）^t-1-1单调递减，
当x=0时，h'（x）=0
当x∈（-1，0），h'（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（0，+∞），h'（x）＜0，h（x）单调递减．
∴x=0是h（x）的唯一极大值点，
∴h（x）≤h（0）=0，不满足f（x）≥g（x）恒成立；…6'
当t＞1时，（1+x）^t-1-1单调递增，
当x=0时，h'（x）=0
当x∈（-1，0），h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增．
∴x=0是h（x）的唯一极小值点，
∴h（x）≥h（0）=0，f（x）≥g（x）恒成立；
综上，t∈（-∞，0）∪（1，+∞）；…8'
（3）证明：先证明a₁^a₁+a₂^a₂≥a₁^a₂+a₂^a₁．
当a₁=a₂，不等式显然成立；…9'
当a₁≠a₂时，不妨设a₁＜a₂
则a₁^a₁+a₂^a₂＞a₁^a₂+a₂^a₁?a₁^a₁-a₁^a₂＞a₂^a₁-a₂^a₂，
令φ（x）=x^a₁-x^a₂，x∈[a₁，a₂]
下证φ（x）是单调减函数：
φ′（x）=a1xa2-1(xa1-a2-

a2

a1

)
易知a₁-a₂∈（-1，0），1+a₁-a₂∈（0，1），

1

1+a1-a2

＞1
由（2）知当t＞1，（1+x）^t＞1+tx，x∈[a₁，a₂]
∴a

1

1+a1-a2

＞

a1

1+a1-a2

＞a₁
∴a2＞a11+a1-a2
∴

a2

a1

＞a1a1-a2≥xa1-a2，
∴φ'（x）＜0，
∴φ（x）在[a₁，a₂]上单调递减．
∴φ（a₁）＞φ（a₂），
即a₁^a₁-a₁^a₂＞a₂^a₁-a₂^a₂
∴a₁^a₁+a₂^a₂＞a₁^a₂+a₂^a₁．
综上，a₁^a₁+a₂^a₂≥a₁^a₂+a₂^a₁成立．
同理a₂^a₂+a₃^a₃≥a₂^a₃+a₃^a₁，a₁^a₁+a₃^a₃≥a₁^a₂+a₃^a₁，
∴a₁^a₁+a₂^a₂+a₃^a₃≥a₁^a₂+a₂^a₃+a₃^a₁…14'

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，导数在函数最值问题中的应用，是导数的综合应用，难度比较大．