Question

已知锐角△ABC中，sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

．
（I）求cos2A的值；
（Ⅱ）求证：tanA=2tanB．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用同角三角函数间的基本关系求出cos（A+B）的值，cos（A-B）的值，通过cos2A=cos[（A+B）+（A-B）]求解即可．
（Ⅱ）把已知的两等式分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，将化简后的两等式组成方程组，两方程相加相减可得出sinAcosB及cosAsinB的值，两式相除并利用同角三角函数间的基本关系可得到tanA与tanB的关系．

解答： 解：（Ⅰ）锐角△ABC，A+B＞90°，
由sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

，0°＜A-B＜90°
得：cos（A+B）=-

1-sin2(A+B)

=-

4

5

．
cos（A-B）=

1-sin2(A-B)

=

2 6

5

，
cos2A=cos[（A+B）+（A-B）]
=cos（A+B）cos（A-B）-sin（A+B）sin（A-B）
=-

4

5

×

2 6

5

-

3

5

×

1

5

=-

3+8 6

25

．
（Ⅱ）∵sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

，
∴

sinAcosB+cosAsinB= 3 5 …① sinAcosB-cosAsinB= 1 5 …②

，
①+②得：2sinAcosB=

4

5

，即sinAcosB=

2

5

③，
①-②得：2cosAsinB=

2

5

，即cosAsinB=

1

5

④，
③÷④得：

tanA

tanB

=2，
即tanA=2tanB，

点评：此题考查了两角和与差的正弦、正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意锐角三角形这个条件．