Question

已知f（x）=e^x（其中e为自然对数的底数），g（x）=

n

2

x+m（m，n∈R）且7＜e2＜

15

2

（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1-

n

2

，求T（x）在[0，1]上最大值；
（2）若n=4时，方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相等实根，求m的范围；
（3）若m=-

15

2

，n∈N*，求使f（x）图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的零点

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）m=1-

n

2

时，求得导数T'（x），分n≥0，n＜-2，-2≤n＜0三种情况进行讨论，可求得函数最大值；
（2）n=4时，方程f（x）=g（x）即为e^x=2x+m，构造函数h（x）=e^x-2x，x∈[0，2]，则问题转化为h（x）与y=m图象的交点问题，借助导数可求函数最值、单调性，借助图象可得m范围；
（3）问题即为f（x）＞g（x）恒成立，构造函数h（x）=ex-

n

2

x+

15

2

，由导数可求得h（x）的最小值h（x）_min=h（ln

n

2

）=

n

2

-

n

2

ln

n

2

+

15

2

，则

n

2

-

n

2

ln

n

2

+

15

2

＞0，令t（x）=x-xlnx+

15

2

（x＞0），用导数可研究t（x）的单调性，根据单调性及e²范围可求得n的最大值；

解答： 解：（1）当m=1-

n

2

时，T（x）=f（x）g（x）=ex(

n

2

x+m)=ex(

n

2

x+1-

n

2

)，
T'（x）=ex(

n

2

x+1-

n

2

)+

n

2

•ex=(

n

2

x+1)•ex，
①当n≥0时，x∈[0，1]时，T'（x）＞0，T（x）在[0，1]上单调递增，T（x）_max=T（1）=e；
②当0＜-

2

n

＜1，即n＜-2时，x∈[0，-

2

n

）时，T'（x）＞0，T（x）递增；x∈（-

2

n

，1]时，T'（x）＜0，T（x）递减；
∴x=-

2

n

时T（x）取得极大值，也为最大值，T（x）_max=T（-

2

n

）=-

n

2

•e-

2

n

；
③当-

2

n

≥1，即-2≤n＜0时，x∈[0，1]时，T'（x）≥0，T（x）递增，
∴T（x）_max=T（1）=e；
综上，当n≥-2时，T（x）_max=e；当n＜-2时，T（x）_max=-

n

2

•e-

2

n

；
（2）n=4时，方程f（x）=g（x）即为e^x=2x+m，
令h（x）=e^x-2x，x∈[0，2]，则h'（x）=e^x-2，
当x∈[0，ln2）时，h'（x）＜0，h（x）递减；当x∈（ln2，2]时，h'（x）＞0，h（x）递增；
∴x=ln2时，h（x）取得极小值，也为最小值，h（x）_min=h（ln2）=2-2ln2；
又h（0）=1，h（2）=e²-4＞1，∴h（x）_max=e²-4；
∵f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相等实根，
∴m=2-2ln2或1＜m≤e²-4．
（3）m=-

15

2

时，f（x）的图象恒在g（x）图象上方，即f（x）＞g（x）恒成立，即ex＞

n

2

x-

15

2

恒成立，
令h（x）=ex-

n

2

x+

15

2

，则h'（x）=ex-

n

2

，令h'（x）=0，得x=ln

n

2

，
当x＜ln

n

2

时，h'（x）＜0，h（x）递减，当x＞ln

n

2

时，h'（x）＞0，h（x）递增，
∴x=ln

n

2

时，h（x）取得极小值，也为最小值，h（x）_min=h（ln

n

2

）=

n

2

-

n

2

ln

n

2

+

15

2

，
∵f（x）＞g（x）恒成立，∴

n

2

-

n

2

ln

n

2

+

15

2

＞0，
令t（x）=x-xlnx+

15

2

（x＞0），则t'（x）=-lnx，
当0＜x＜1时，t'（x）＞0，t（x）递增；当x＞1时，t'（x）＜0，t（x）递减；
当n=2e²时，t（e²）=e2-e2lne2+

15

2

=-e2+

15

2

，
又7＜e2＜

15

2

，∴t（e²）＞0，由x＞1时t（x）递减知t（14）＞0，即n=14时，

n

2

-

n

2

ln

n

2

+

15

2

＞0；
而

15

2

-

15

2

ln

15

2

+

15

2

=

30

2

-

15

2

ln

15

2

＜

30

2

-

15

2

lne2=0，即n=15时，

n

2

-

n

2

ln

n

2

+

15

2

＜0，
∴满足条件的最大正整数n=14．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值、单调性及恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，能力要求高．