Question

已知函数f（x）=b+log_ax（a＞0且a≠1）的图象过点（16，3），其反函数的图象过点（-1，1）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）=b+log_ax（a＞0且a≠1）的图象过点（16，3）、点（1，-1），可得3=b+log_a16，且-1=b+0，求得 a和b的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）先求得g（x）=2f（x）-f（x-1）=-1+log2[(x-1)+2+

1

x-1

]，再利用基本不等式求得它的最小值．

解答： 解：（1）由题意可得，函数f（x）=b+log_ax（a＞0且a≠1）的图象过点（16，3）、点（1，-1），
∴3=b+log_a16，且-1=b+0，解得a=2，且b=-1，
∴函数f（x）=-1+log₂x．

（2）∵f（x）=-1+log₂x．
∴g（x）=2f（x）-f（x-1）
=-2+2log₂x+1-log₂（x-1）
=-1+log2

x2

x-1

=-1+log2

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=-1+log2[(x-1)+2+

1

x-1

]≥-1+log₂4=1，当且仅当x-1=

1

x-1

，即x=2时取等号，
即x=2时，函数g（x）取得最小值为1．

点评：本题主要考查函数与反函数的关系，对数函数的图象和性质综合应用，基本不等式，属于中档题．