Question

已知函数f（x）=sinxcos（x+

π

3

）+

3

4

．
（Ⅰ）当x∈[-

π

3

，

π

6

]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

3

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的

1

2

倍，纵坐标保持不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的表达式及对称轴方程．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由条件利用三角函数的恒等变换求得函数f（x）的解析式，再根据-

π

3

≤x≤

π

6

，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得它的对称轴方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcos（x+

π

3

）+

3

4

=sinx（

1

2

cosx-

3

2

sinx）+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

2

•

1-cos2x

2

+

3

4

=

1

4

sin2x+

3

4

cos2x=

1

2

sin（2x+

π

3

）．
∵-

π

3

≤x≤

π

6

，故-

π

3

≤2x+

π

3

≤

2π

3

，
∴-

3

2

sin（2x+

π

3

）≤1，
∴f（x）∈[-

3

4

，

1

2

]．
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

3

个单位后，可得函数y=

1

2

sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]=

1

2

sin（2x-

π

3

）的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的

1

2

倍，纵坐标保持不变，得到函数y=g（x）=

1

2

sin（4x-

π

3

）的图象．
令4x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，求得x=

kπ

4

+

5π

24

，
故函数g（x）的图象的对称轴方程为x=

kπ

4

+

5π

24

，k∈Z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．