Question

设函数f（x）=|1-

1

x

|
（1）求满足f（x）=2的x值；
（2）是否存在实数a，b，且0＜a＜b＜1，使得函数y=f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，2b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：带绝对值的函数,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的零点，去掉绝对值符号，即可求满足f（x）=2的x值；
（2）化简函数y=f（x）的表达式，判断函数的单调性，然后利用在区间[a，b]上的值域为[a，2b]，列出关于a，b的方程即可求出结果．

解答： （本题满分10分） 
解：（1）由f（x）=2知|1-

1

x

|=2，所以

1

x

=-1或

1

x

=3，于是x=-1或x=

1

3

…（4分）
（2）因为当x∈（0，1）时，f(x)=

1-x

x

=

1

x

-1…（6分）
易知f（x）在（0，1）上是减函数，又0＜a＜b＜1，y=f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，2b]
所以

f(a)=2b f(b)=a

⇒

1 a -1=2b 1 b -1=a

⇒

a= 2 -1 b= 2 2

…（10分）

点评：本题考查含绝对值的函数的应用，函数的零点，以及函数的单调性，考查计算能力．