Question

地震过后，当地人民积极恢复生产，焊工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1m，圆心角θ=

π

3

，厂长要求王师傅按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下钢板面积最大．试问王师傅如何确定A点位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？

Answer 1

考点：在实际问题中建立三角函数模型

专题：解三角形

分析：过点B作BM⊥OP于M，则BM=sinα，OM=cosα，建立面积与角α的三角函数式，然后变形利用三角函数的公式以及最值求S的最大值．

解答： 解：过点B作BM⊥OP于M，
则BM=sinα，OM=cosα，OA=OM-AM=cosα-

3

3

sinα，设平行四边形OABC的面积为S，
则S=OA•BM=（cosα-

3

3

sinα）sinα
=

1

2

sin2α-

3

3

sin²α
=

1

2

sin2α+

3

6

cos2α-

3

6

=

3

3

（

3

2

sin2α+

1

2

cos2α）-

3

6

=

3

3

sin（2α+

π

6

）-

3

6

，
因为0＜α＜

π

3

，所以2α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

6

时，S_max=

3

3

-

3

6

=

3

6

；
所以当A是

PQ

的中点时，能使裁下的钢板面积最大，最大面积为

3

6

．

点评：本题考查了两角和与差的三角函数的运用以及倍角公式、三角函数的最值等知识的综合应用．