题目内容
为丰富农村业余文化生活，决定在A，B，N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB=8km，BC=4| 2 |
| 2 |
（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；
（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离．
考点：函数模型的选择与应用
专题：应用题,函数思想,函数的性质及应用
分析：（1）设∠AOB=θ，三条道路建设的费用相同，则
×
a=(4
-4tanθ)a，利用三角变换求解．
（2）总费用ω=2×
+a(4
-4tanθ)，θ∈[0，
]，即ω=
a+4
a，求导判断极值点，令ω′=
a=0，得sinθ=
，再转换为三角变换求值解决．
| 4 |
| cosθ |
| 2 |
| 3 |
（2）总费用ω=2×
4
| ||
| cosθ |
| 3 |
| π |
| 3 |
8
| ||
| cosθ |
| 3 |
8
| ||
| cos2θ |
| ||
| 4 |
解答：
解：（1）不妨设∠AOB=θ，依题意得θ∈[0，
]，
且MC=4
，由AO=BO=4
=
，NO=4
-4tanθ，
若三条道路建设的费用相同，则
×
a=(4
-4tanθ)a
所以sin(
-θ)=
，所以θ=
．
由二倍角的正切公式得，tanθ=tan
=2-
即NO=8
-8，
答：该文化中心离N村的距离为(8
-8)km．
（2）总费用ω=2×
+a(4
-4tanθ)，θ∈[0，
]
即ω=
a+4
a，
令ω′=
a=0，得sinθ=
当0≤sinθ≤
2，ω′＜0，当
＜sinθ≤
时，ω′＞0，
所以当sinθ=
时，ω有最小值，
这时，tanθ=
，NO=4
-
答：该文化中心离N村的距离为(4
-
)km．
| π |
| 3 |
且MC=4
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| cosθ |
| 3 |
若三条道路建设的费用相同，则
| 4 |
| cosθ |
| 2 |
| 3 |
所以sin(
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 12 |
由二倍角的正切公式得，tanθ=tan
| π |
| 12 |
| 3 |
即NO=8
| 3 |
答：该文化中心离N村的距离为(8
| 3 |
（2）总费用ω=2×
4
| ||
| cosθ |
| 3 |
| π |
| 3 |
即ω=
8
| ||
| cosθ |
| 3 |
令ω′=
8
| ||
| cos2θ |
| ||
| 4 |
当0≤sinθ≤
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
| ||
| 2 |
所以当sinθ=
| ||
| 4 |
这时，tanθ=
| ||
| 7 |
| 3 |
4
| ||
| 7 |
答：该文化中心离N村的距离为(4
| 3 |
4
| ||
| 7 |
点评：本题综合考查了函数的性质在实际问题中的应用，转换为三角函数最值求解．
练习册系列答案
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以下函数在R上是减函数的是（ ）
| A、y=-x2 | ||
B、y=log
| ||
C、y=
| ||
D、y=(
|
若f（2x+1）=x2-1，则f（0）=（ ）
A、-
| ||
| B、0 | ||
C、
| ||
| D、-1 |
不等式（x-1）（x-2）≥0的解集等于（ ）
| A、{x|1≤x≤2} |
| B、{x|x≥2或x≤1} |
| C、{x|1＜x＜2} |
| D、{x|x＞1或x＜2} |