题目内容

为丰富农村业余文化生活，决定在A，B，N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB=8km，BC=4
2
km．经协商，文化服务中心拟建在与A，B等距离的O处，并建造三条道路AO，BO，NO与各村通达．若道路建设成本AO，BO段为每公里
2
a万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为w万元．
（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；
（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离．
考点：函数模型的选择与应用
专题：应用题,函数思想,函数的性质及应用
分析：（1）设∠AOB=θ，三条道路建设的费用相同，则
4
cosθ
×
2
a=(4
3
-4tanθ)a，利用三角变换求解．
（2）总费用ω=2×
4
2
a
cosθ
+a(4
3
-4tanθ)，θ∈[0，
π
3
]，即ω=
8
2
-4sinθ
cosθ
a+4
3
a，求导判断极值点，令ω′=
8
2
sinθ-4
cos2θ
a=0，得sinθ=
2
4
，再转换为三角变换求值解决．
解答： 解：（1）不妨设∠AOB=θ，依题意得θ∈[0，
π
3
]，
且MC=4
3
，由AO=BO=4
3
=
4
cosθ
，NO=4
3
-4tanθ，
若三条道路建设的费用相同，则
4
cosθ
×
2
a=(4
3
-4tanθ)a
所以sin(
π
3
-θ)=
2
2
，所以θ=
π
12
．
由二倍角的正切公式得，tanθ=tan
π
12
=2-
3

即NO=8
3
-8，
答：该文化中心离N村的距离为(8
3
-8)km．
（2）总费用ω=2×
4
2
a
cosθ
+a(4
3
-4tanθ)，θ∈[0，
π
3
]
即ω=
8
2
-4sinθ
cosθ
a+4
3
a，
令ω′=
8
2
sinθ-4
cos2θ
a=0，得sinθ=
2
4

当0≤sinθ≤
2
4
2，ω′＜0，当
2
4
＜sinθ≤
3
2
时，ω′＞0，
所以当sinθ=
2
4
时，ω有最小值，
这时，tanθ=
7
7
，NO=4
3
-
4
7
7

答：该文化中心离N村的距离为(4
3
-
4
7
7
)km．
点评：本题综合考查了函数的性质在实际问题中的应用，转换为三角函数最值求解．
练习册系列答案
相关题目
设集合A=Z，B={x|x=2n+1，n∈Z}，C=R，且从A到B的映射是x→2x-1，从B到C的映射是y→12y+1，则经过两次映射，A中元素1在C中的象为
 
．
设函数f（x）=|1-
1
x
|
（1）求满足f（x）=2的x值；
（2）是否存在实数a，b，且0＜a＜b＜1，使得函数y=f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，2b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
对于任意x都有f（x+6）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+1，f（2）=-5，则f（2012）=
 
．
以下函数在R上是减函数的是（　　）
A、y=-x2
B、y=log
1
2
x
C、y=
1
x
D、y=(
1
2
)x
若
1-a
1+a
∈{a}，则a=
 
．
若f（2x+1）=x2-1，则f（0）=（　　）
A、-
3
4
B、0
C、
3
4
D、-1
不等式（x-1）（x-2）≥0的解集等于（　　）
A、{x|1≤x≤2}
B、{x|x≥2或x≤1}
C、{x|1＜x＜2}
D、{x|x＞1或x＜2}
已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2，则f（x）在x＜0时的解析式是f（x）=
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网