Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧面ABB₁A₁是边长为2的正方形，直角三角形边满足AC=BC，E是CB₁上的点，且BE⊥平面ACB₁．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB₁C；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）由已知得BB₁⊥平面ABC，BB₁⊥AC，AC⊥BC，由此能证明AC⊥平面BB₁C．
（Ⅱ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AB₁-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，
BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AC，
∵直角三角形边满足AC=BC，
∴AC⊥BC，
又BC∩BB₁，∴AC⊥平面BB₁C．
（Ⅱ）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵侧面ABB₁A₁是边长为2的正方形，直角三角形边满足AC=BC，
∴2AC²=4，解得AC=BC=

2

，
B（0，

2

，0），A（

2

，0，0），B₁（0，

2

，2），C（0，0，0），

AB1

=（-

2

，

2

，2），

AB

=（-

2

，

2

，0），
设平面BAB₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

AB1 • n =- 2 x+ 2 y+2z=0 AB • n =- 2 x+ 2 y=0

，
取x=

2

，得

n

=（1，1，0），

CA

=(

2

，0，0)，

CB1

=(0，

2

，2)，
设平面AB₁C的法向量

m

=（a，b，c），

CA • m = 2 a=0 CB1 • m = 2 b+2c=0

，
取b=

2

，得

m

=（0，

2

，1），
设二面角B-AB₁-C的平面角为θ，
cosθ=cos＜

n

，

m

＞=

2

2 • 3

=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．