Question

已知f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0．
（1）证明f（x）为R上的减函数；
（2）解不等式f（x-1）-f（1-2x-x²）＜4．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先将f（x+y）=f（x）+f（y），变形为f（x+y）-f（x）=f（y），再结合单调性的定义证明f（x）在R上的单调性；
（2）结合已知条件将不等式变形为f（x）＞f（y）的形式，再结合单调性构造关于x的不等式，解之即可，注意如何将4化成某个函数值得形式．

解答： 解：（1）证明：因为f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
所以f（x+y）-f（x）=f（y），
所以对任意的m，n，f（m）-f（n）=f（m-n），
任取x₁＜x₂，则有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），且x₂-x₁＞0，结合当x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上减函数；
（2）解：依题意有f（2）=f（1）+f（1）=-4
∴不等式可化为f（x-1）-4＜f（1-2x-x²）即f（x-1）+f（2）＜f（1-2x-x²），
f（x-1+2）＜f（1-2x-x²）因为f（x）是R上的减函数
∴1+x＞1-2x-x²，x＞0或x＜-3所以不等式的解集为（-∞，-3）或（0，+∞）．

点评：本题考查了抽象函数单调性的证明问题，一般利用定义来证，关键是如何利用已知得到定义中的式子并判断符号．