Question

从1，2，3，…，9，10这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f（x）=ax²+bx+c的系数，则满足

f(1)

3

∈N的方法有

 

种．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得 f（1）=a+b+c是3的倍数，对a，b，c分情况，分别求得满足条件的（a，b，c）的个数，相加即得所求．

解答： 解：由题意可得 f（1）=a+b+c是3的倍数，
对1，2，3，…，9，10这10个整数分组，
①3，6，9；②1，4，7，10；③2，5，8
若a，b，c里面三个都是3的倍数，则a+b+c是3的倍数，此时（a，b，c）共有

A

3 3

=6个．
若a，b，c里面三个被3除余数为1，则a+b+c是3的倍数，此时（a，b，c）共有

C

3 4

A

3 3

=24个．
若a，b，c里面三个被3除余数为2，则a+b+c是3的倍数，此时（a，b，c）共有

A

3 3

=6个．
若a，b，c里面有一个被3整除，有一个被3除余数为2，有一个被3除余数为1，则a+b+c是3的倍数，
此时（a，b，c）共有

C

1 3

C

1 4

C

1 3

A

3 3

=216个．
故满足

f(1)

3

∈Z的（a，b，c）一共有252个，
故答案为：252．

点评：本题主要考查二次函数的性质，排列组合的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．