Question

17．已知动直线l的方程：cosα•（x-2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），给出如下结论：
①动直线l恒过某一定点；
②存在不同的实数α₁，α₂，使相应的直线l₁，l₂平行；
③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；
④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=-1之外的所有直线；
⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线；
其中正确结论的序号是②③．

Answer 1

分析 ①，圆（x-2）²+（y+1）²=1上任一点P（2+cosα，-1+sinα），则点P处的切线为cosα•（x-2）+sinα•（y+1）=1（α∈R）；
②，当≠0时，直线的斜率k=-$\frac{cosα}{sinα}=-cotα$，存在不同的实数α₁，α₁，使cotα₁=cotα₁，相应的直线l₁，l₂平行；
③，cosα•（x-2）+sinα•（y+1）=1⇒$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}sin（α+θ）=1$，所有使$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}＜1$的点（x，y）都不在其上；
对于④，⑤由③可判定．

解答 解：对于①，圆（x-2）²+（y+1）²=1上任一点P（2+cosα，-1+sinα），则点P处的切线为cosα•（x-2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），直线不会过一定点，故错；
对于②，当≠0时，直线的斜率k=-$\frac{cosα}{sinα}=-cotα$，存在不同的实数α₁，α₁，使cotα₁=cotα₁，相应的直线l₁，l₂平行，故正确；
对于③，cosα•（x-2）+sinα•（y+1）=1⇒$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}sin（α+θ）=1$，所有使$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}＜1$的点（x，y）都不在其上，故正确；
对于④，⑤由③可得错．
故答案为：②③

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到直线方程的知识，属于基础题．