Question

7．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC，PA=AC，E为PC上的动点，当 BE⊥PC时，$\frac{CE}{PC}$的值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 取特殊值，设AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当BE⊥PC时，$\frac{CE}{PC}$的值为$\frac{1}{4}$．

解答 解：取特殊值，设AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$，
以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），P（$\sqrt{2}$，2，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），
设E（a，b，c），$\frac{CE}{PC}$=λ（0≤λ≤1），
则$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{CP}$，即（a，b-$\sqrt{2}$，c）=λ（$\sqrt{2}，2-\sqrt{2}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}λ}\\{b=\sqrt{2}+（2-\sqrt{2}）λ}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴E（$\sqrt{2}λ，\sqrt{2}+（2-\sqrt{2}）λ，0$），
∴$\overrightarrow{BE}$=（$\sqrt{2}λ，\sqrt{2}+（2-\sqrt{2}）λ，0$），$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}-2$，0），
∵BE⊥PC，∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PC}$=-2λ+$\sqrt{2}（\sqrt{2}-2）$-（2-$\sqrt{2}$）²λ=0，
解得$λ=\frac{1}{4}$．
∴当BE⊥PC时，$\frac{CE}{PC}$的值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．